题目

f：A={1,2,3}映射B={1,2,3}满足f[(x)]=f(x),这样的函数个数有多少
f：{1,2,3}映射{1,2,3}满足f（f(x))=f(x),这样的函数个数有多少?
我看了答案了,我有个疑问：
我自己做这题的话,我认为就只有一个函数符合,就是1→1,2→2,3→3.因为满足f（f(x))=f(x),根据f[f(x)]=f(x)可以推出：f(x)=x,那么A中所有元素都必须满足f(x)=x,比如：当x=1时,f(1)=1,说明在集合A中的元素1映射到B,所对应的应该是1,以此类推,那么符合的就只有1→1,2→2,3→3.
可是答案上不是这么讲的,答案是说至少有一个f（x）=x,然后分类讨论.
如果按答案说的做,比如：A中元素1对应B中的1,A中的2对应B中的3,A中的3对应B中的2,这样,就有：f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2,但是f(2)=3,f(3)=2不符合f(x)=x,那这样的函数应该不成立.这到底是怎么回事?

提问时间：2020-10-17

答案

映射可分为一一映射（值域为B）和其它映射（值域是B的子集）
f(x)=x是一一映射的情况
如果考虑其它映射,f[f(x)]=f(x)与f(x)=x并不等价
前者表示值域中的数符合f(x)=x,后者表示定义域中的数符合f(x)=x
如（1,2,3）→（1,1,1）,表示1→1,2→1,3→1
（1,2,3）→（1,2,1）
（1,2,3）→（1,2,2）等等
只要满足值域中的数符合f(x)=x就行了
总共有10种情况