题目

（1）定义在R上的函数f（x）（f（x)≠0）满足：对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且x＞0时...
（1）定义在R上的函数f（x）（f（x)≠0）满足：对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且x＞0时,0＜f(x)＜1,试判断f(x)的单调性.
（2）定义在R上的不恒为0的函数f(x)满足：对任意实数x1,x2,都有f(x1x2)=x2f(x1)+x1f(x2),试判断f(x)的奇偶性.

提问时间：2020-10-16

答案

（1）定义在R上的函数f（x）（f（x)≠0）满足：对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且x＞0时,0＜f(x)＜1,试判断f(x)的单调性.
若存在x0,使得f(x0)=0,则
f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)f(x0)=0,
这与“x＞0时,0＜f(x)”矛盾.
∴f(x)=[f(x/2)]^2>0,
设x10,0