题目

矩阵行列式问题
求证：对任意两n阶同型方阵A、B有
|AB|=|A|·|B|

提问时间：2020-10-13

答案

就是构造2n阶的矩阵D（这里用分块矩阵表示）
D =
|A 0|
|C B|
这是一个上三角矩阵,易得|D| = |A||B|
(A、B是原来的n阶阵,O代表全零的n阶矩阵,C代表对角线上元素全部是-1,其他元素全部是0的n阶对角矩阵)
下面证明|D| = |AB|
对矩阵D施行初等行变换（具体过程很繁琐,略去）变换成下面的形式D =
|A M|
|C 0|
其中0还是全零矩阵,矩阵M的元素M(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ...+ a(i,n)b(n,j),(易看出M实际上就是矩阵AB)
取D的第n + 1,n + 2,.,2n列,将行列式按块展开,
D = （-1）^(1+2+3+..+n) * |C| * |M|
（C是对角线全为-1的对角矩阵,其行列式的值易求得）
即有|D| = |AB|