题目

一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在圆锥内部有一个高为xcm的内接圆柱．（如图为轴截面图）

（1）用x表示圆柱的轴截面面积S；
（2）当x为何值时，S最大？

提问时间：2020-10-11

答案

（1）如图，设圆柱的底面半径为rcm，则由△PDN∽△PAO⇒DNAO＝PNPO即r2=6−x6，得r=6−x3，∴S=EF•DE=2r•x=-23x2+4x（0＜x＜6）．…（6分）（2）∵S=-23x2+4x=-23（x-3）2+6，（0＜x＜6）．∴当x=3时，Smax=6 ...

（1）设圆柱的底面半径为rcm，由△PDN∽△PAO⇒

DN

AO

＝

PN

PO

，由此能求出圆柱的轴截面面积S．
（2）由S=-

2

3

x²+4x=-

2

3

（x-3）²+6，（0＜x＜6）．由此能求出S_max．

本题考点：棱锥的结构特征．

考点点评：本题考查圆柱的轴截面的面积的求法，考查轴截面面积的最大值的求法，解题时要注意空间思维能力的合理运用．