题目

线y=-1/2x+2交y轴于A点且与直线y=x交于B点.在x轴上存在一动点Q(t ,0),过 Q点作x轴的垂线,交y=-1/2x+2和
交y=-1/2x+2和直线y=x于D点与E点，在y轴上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形。写出P坐标

提问时间：2020-10-11

答案

(1),易求 A,B两点的坐标分别为 A(0,2) ,B (4/3,4/3) .
(2),易求D,E两点的坐标分别为 D(t,-1/2t+2) ,E(t,t) .
设y轴上的P点的坐标为P(0,m),要使三角形PDE为等腰三角形,
1,角DPE为直角,DP=EP
因为DE垂直x轴,可知,过P点作DE的高必平行x轴,DE的中点坐标为(t,1/4t+1),
故m=1/4t+1.
还可知,直线PE的斜率k为1或-1,即k=[t-(1/4t+1)] / (t-0)=1或 k=[t-(1/4t+1)] /(t-0)=-1
解得 t=-4 或 t=4/7,当t=-4时,m=0,P点的坐标为(0,0),不符题意,舍去.
当t=4/7时,m=8/7,P点的坐标为(0,8/7).
2,角PDE或角PED为直角,DP=DE或PE=ED
因为DE垂直x轴,可知,PD//x轴或PE//x轴,故m=-1/2t+2或m=t,此时PD=|t|或PE=|t|,
而DE=|t-(-1/2t+2)|=|3/2t-2|,因为是等腰三角形,故|3/2t-2|=|t|
解得t=4或 t=4/5,经验,舍去t=4.
当t=4/5时,P点的坐标为(0,4/5)