题目

若有且只有一个圆经过两点A(0,1),B(4,m),且与x轴相切,求实数m的值

提问时间：2020-10-10

答案

设圆中心为(a,b),半径为r,则圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
已知与x相切,则方程变为：
(x-a)^2+(y-b)^2=b^2
代入A(0,1),B(4,m)：
a^2+(b-1)^2=b^2
(a-4)^2+(b-m)^2=b^2
用第1个等式把b用a表示：
a^2+1=2b代入第2个等式：
(a-4)^2=m(a^2+1)-m^2
a^2(1-m)-8a+16-m+m^2=0
已知这个圆有且只有一个,就是说它的中心只有1个,也就是上边这个方程的a的解只有1个：
8^2-4(1-m)(16-m+m^2)=0
m(m^2-2m+17)=0
所以m=0