题目

三角函数 正弦余弦定理
在△ABC中,若a³+b³-c³/a+b-c=c²,sinA·sinB=3/4,试判断△ABC的形状.

提问时间：2020-10-09

答案

解
（a³+b³-c³)/(a+b-c)=c²
a³+b³-c³=(a+b-c)c²=(a+b)c²-c³
a³+b³=(a+b)c²
(a+b)c²=a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
c²=a²-ab+b²
a²+b²-c²=ab
(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2
结合余弦定理：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2
再结合0º＜C＜180º可得：C=60º
A+B=120º
3/4=sinAsinB=(1/2)[cos(A-B)-cos(A+B)]
3/2=cos(A-B)-cos120º=cos(A-B)+(1/2)
∴cos(A-B)=1
结合-120º＜A-B＜120º可知：A=B=60º
∴该三角形为等边三角形.