题目

求定积分∫(0-π)x^2.cosnx dx

提问时间：2020-10-08

答案

∫udv=uv-∫udv
多次使用分部积分,把x^2降次就行了.
∫x^2.cosnx dx
=1/n*∫x^2 * d(sinnx)
=1/n*(x^2*sinnx-∫sinnxd(x^2))
=1/n*(x^2*sinnx-∫2xsinnxdx)
=1/n(x^2*sinnx+2/n*∫xd(cosnx))
=x^2/n*sinnx+2/n^2*(xcosnx-∫cosnxdx)
=x^2/n*sinnx+2/n^2*xcosnx-2/n^2*1/n*(sinnx)+C
=1/n^3(n^2*x^2*sinnx+2nxcosnx-2sinnx)+C
再代入求值就行了
cosnπ=±1,根据n的奇偶来区分
sinxnπ=0
∫(0-π)f(x)dx=(2nπcosnπ)/n^3=(2πcosnπ)/n^2
=±2π/n^2
n为偶数时取正,奇数时取负
==========过程不知道有没有错的地方,方法是这样了.