题目

已知函数f(x)=-x^3+kx^2+5x+1,g(x)=-lnx+kx,其中k∈R (1)当k=1时,求行数f(x)的极值,(
（2）若关于x的方程f(x)=0在区间(1,2)上有解,求实数k的取值范围

提问时间：2020-10-04

答案

1）k=1,f(x)=-x^3+x^2+5x+1
f'(x)=-3x^2+2x+5=-(3x^2-2x-5)=-(3x-5)(x+1)=0,得极值点x=5/3,-1
f(-1)=1+1-5+1=-2为极小值
f(5/3)=-125/27+25/9+25/3+1=202/27为极大值
2）由-x^3+kx^2+5x+1=0
得：k=(x^3-5x-1)/x^2=x-5/x-1/x^2=g(x)
在区间(1,2),g'(x)=1+5/x^2+2/x^3>0,
即g(x)单调增,最小值为g(1)=1-5-1=-5
最大值为g(2)=2-5/2-1/4=-3/4
所以k的取值范围是(-5,-3/4)