题目
已知以下三个方程有公共根:ax²+bx+c=0,bx²+cx+a=0,cx²+ax+b=0.
(1)求证:a+b+c=0;(2)求这三个方程的根;(3)求式子(a³+b³+c³)/abc的值要详细过程
(1)求证:a+b+c=0;(2)求这三个方程的根;(3)求式子(a³+b³+c³)/abc的值要详细过程
提问时间:2020-10-02
答案
将三个方程相加,整理得
(a+b+c)x²+(a+b+c)x+(a+b+c)=0
(a+b+c)(x²+x+1)=0
由于x²+x+1=(x+1/2)²+3/4>0,所以只能是
a+b+c=0
所以
(a³+b³+c³)/abc
=[(a³+b³+c³-3abc)+3abc]/abc
=(a³+b³+c³-3abc)/abc+3
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)/abc+3
=0+3
=3
关于:
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
(a+b+c)x²+(a+b+c)x+(a+b+c)=0
(a+b+c)(x²+x+1)=0
由于x²+x+1=(x+1/2)²+3/4>0,所以只能是
a+b+c=0
所以
(a³+b³+c³)/abc
=[(a³+b³+c³-3abc)+3abc]/abc
=(a³+b³+c³-3abc)/abc+3
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)/abc+3
=0+3
=3
关于:
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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