题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F（2,0）,M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,
且△MOF是等腰直角三角形（2）.过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,射两直线斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明：直线AB过定点（-1/2,-2）

提问时间：2020-09-29

答案

椭圆方程：x^2/8+y^2/4=1
直线方程：y=Kx+2
x^2+2(Kx+2)^2-8=0
(2K^2+1)x^2+8Kx=0
x=0 或 x=-8K/(2K^2+1)
P（-1/2,-2）
AP斜率：
（y1+2)/(x1+1/2)
=(k1x1+2+2)/(x1+1/2)
=[-8k1^2/(2k1^2+1)+4]/[-8k1/(2k1^2+1)+1/2]
=8/(2k1^2-16k1+1)
BP斜率：（将k1换成k2）
8/（2k2^2-16k2+1）
=8/[2(8-k1)^2-16(8-k1)+1]
=8/(2k1^2-16k1+1)
AP与BP斜率相等
故ABP共线.
AB过P点.