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题目
某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋,共用去9.25元;如果买2个鸡蛋,4个鸭蛋,3个鹌鹑蛋,则共用去3.20元,试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个,共需多少钱?请至少用三种以上的方法解答.

提问时间:2020-09-03

答案
设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元,则根据题意,得
13x+5y+9z=9.25①
2x+4y+3z=3.20②

(1)凑整法
解1:
①+②
3
,得5x+3y+4z=4.15③

∴②+③,得7(x+y+z)=7.35,
∴x+y+z=1.05
答:只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个,共需1.05元.(下面解法后的答均省略)
解2:原方程组可变形为
13(x+y+z)−4(2y+z)=9.25
2(x+y+z)+(2y+z)=3.20

解之得x+y+z=1.05
(2)主元法
解3:视x、y为主元,视z为常数,解①、②得x=0.5-0.5z,y=0.55-0.5z.
∴x+y+z=0.55+0.5-z+z=1.05.
解4:视y、z为主元,视x为常数,解①、②得y=0.05+x,z=1-2x.
∴x+y+z=1.05+x-2x+x=1.05.
解5:视z、x为主元,视y为常数,解①、②得x=y-0.05,z=1.1-2y
∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y=1.05.
(3)参数法
解9:设x+y+z=k,则
13x+5y+9z=9.25①
2x+4y+3z=3.20②
x+y+z=k③

∴①-②×3,得x-y=-0.05④
③×3-②,得x-y=3k-3.2⑤
∴由④、⑤得3k-3.2=-0.05,
∴k=1.05.即x+y+z=1.05.
此方程组是三元一次方程组,由于只有两个三元一次方程,因而要分别求出x、y、z的值是不可能的,但注意到所求的是x+y+z的代数和,因此,我们可通过变形变换得到多种解法.

三元一次不定方程.

本题是三元不定方程组,解决这类问题,需要设待定系数,比较系数求解,本题有多种解法,值得借鉴.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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