题目

如图，△ABC中，∠C=90°，点E是AB的中点，过点E作DE⊥AB交BC于点D，
连接AD，若AC=8，sin∠CAD＝

3

5

．

（1）求：CD的长；
（2）求：DE的长．

提问时间：2020-08-10

答案

（1）在Rt△ACD中，∠C=90°，
∴sin∠CAD=

CD

AD

=

3

5

，
设CD=3k，AD=5k，
∴AC=

AD2- CD2

=4k=8，
∴k=2，
∴CD=3k=6；
（2）∵点E是AB的中点，DE⊥AB于E，
∴BD=AD=5k=10，
∴BC=BD+CD=16，
在Rt△ACB中，∠C=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+162

=8

5

，
（解一）∴BE=

1

2

AB=4

5

．
（解二）∵∠B=∠B，∠DEB=∠C=90°，
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，
∴△DEB∽△ACB，
∴

DE

AC

=

BD

AB

，
∴

DE

8

=

10

8 5

，
∴DE=2

5

．

（1）由在Rt△ACD中，AC=8，sin∠CAD＝

3

5

，利用方程思想与勾股定理即可求得CD的长；
（2）根据垂直平分线的性质，即可求得BD的值，则可得BC与AB的值，在Rt△BDE中，利用勾股定理求解即可．

本题考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．

考点点评：此题考查了直角三角形的性质与勾股定理等知识．解题的关键是数形结合与方程思想的应用．