题目

（2011•武汉模拟）设f（x）=sinπx是[0，1]上的函数，且定义f₁（x）=f（x），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n∈N^*，则满足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的个数是（　　）
A. 2n
B. 2（2n-1）
C. 2n²
D. 2ⁿ

提问时间：2020-08-10

答案

显然，y=f₁（x）与y=x的图象有2=2¹个交点．
接下来考虑f₂（x），在x属于[0，

1

2

]时，f₁（x）从0单调上升到1，于是f₂（x）从0上升到1再下降到0；
当x属于[

1

2

，1]时，又是这样一个周期．你近似画出它的图象（只要增减性画对）就知道它会上升到1，下降到0，再上升到1，再下降到0，这样和y=x有4=2²个交点．
接下来，你再看f₃（x），就会发现周期又缩短了一半．它有4次上升下降，与直线y=x有8=2³个交点．
归纳可以得出结论：f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的个数是：2ⁿ．
故选D．