题目

斐波那契数列：1、2、3、5、、、分别除以数N（N>=5),得到的余数排成新数列,请问:
对于不同的N,新数列是否一定会出现循环呢?
一个N对应一个新数列

提问时间：2020-08-09

答案

结论：必然会出现循环
这是基于下面事实：
1． R(n+2)=F(n+2) mod P=(F(n+1)+F(n)) mod P=(F(n+1) mod p +F(n) modp) mod p
2． 斐波那契数列的最大公约数定理：gcd(F(m),F(n))=F(gcd(m,n))
最大公约数定理表明如果F(k)能被N整除,则F(ik)也能被N整除,这就表明了斐波那契数列所含因子的周期性,下面列举：
因子：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
周期：3,4,6,5,12,8,6,12,15,10,12
我们称所生成的序列为剩余序列,那么一旦出现某个F(k) 能被N整除（这需证明我的一个猜想：对于任意素数P,F（P）,F（P-1）和F（P+1）三个中定有一个能被P整除）,以后F(ik)都能被N整除,亦即剩余序列周期地出现0,下一个剩余序列值为N-1种可能,总会重复,有两个相邻的重复该序列就一定重复,亦即具有周期性.
这个周期叫做皮萨诺周期
The sequence of Fibonacci numbers is periodic modulo any modulus (Wall 1960).These periods are known as Pisano periods (Wrench 1969).The Fibonacci numbers modulo for small are tabulated below,together with their Pisano periods.
Sloane (mod )
2 3 A011655
1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...
3 8 A082115
1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,...
4 6 A079343
1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,2,...
5 20 A082116
1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,...
6 24 A082117
1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,...
7 16 A082116
1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1,...
8 12 A079344
1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,2,...