题目

若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0（a＞0）的公共弦的长为2倍根号3,答案是a=1,
但是我们老师说利用勾股定理,√(3+a2)+1=a,解得是a=-1为什么求解

提问时间：2020-08-06

答案

显然,圆x^2＋y^2＝4的圆心A的坐标为（0,0）、半径r＝2.
改写圆x^2＋y^2＋2ay－6＝0的形式,得：x^2＋（y＋a）^2＝6＋a^2,
∴圆x^2＋y^2＋2ay－6＝0的圆心B的坐标为（0,－a）、半径R＝√（6＋a^2）.
令公共弦为MN,且AB与MN相交于C,则：MC⊥AB、MC＝MN/2＝√3.
一、当A、B在MN的两侧时,
很明显,有：AC＝√（AM^2－MC^2）、BC＝√（BM^2－MC^2）,且AC＋BC＝AB,
∴AB＝√（AM^2－MC^2）＋√（BM^2－MC^2）,
∴√［（0－0）^2＋（0＋a）^2］＝√（r^2－3）＋√（R^2－3）,
∴a＝√（4－3）＋√（6＋a^2－3）＝1＋√（3＋a^2）,
∴（a－1）^2＝3＋a^2,∴a^2－2a＋1＝3＋a^2,∴2a＝1－3＝－2,∴a＝－1.
这与题目中的a＞0矛盾,∴这种情况应舍去.
二、当A、B在MN的同侧时,
很明显,有：AC＝√（AM^2－MC^2）、BC＝√（BM^2－MC^2）,且｜AC－BC｜＝AB,
∴AB＝｜√（AM^2－MC^2）－√（BM^2－MC^2）｜,
∴√［（0－0）^2＋（0＋a）^2］＝｜√（r^2－3）－√（R^2－3）｜,
∴a＝｜1－√（3＋a^2）｜,∴a＝1－√（3＋a^2）,或a＝√（3＋a^2）－1,
∴√（3＋a^2）＝1－a,或√（3＋a^2）＝1＋a,
∴3＋a^2＝1－2a＋a^2,或3＋a^2＝1＋2a＋a^2,
∴2a＝－2,或2a＝2,∴a＝－1,或a＝1.
自然应舍去a＝－1.
∴a＝1.
综合上述一、二,得：a＝1.