题目

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x；
（1）求f（x）的解析式    
（2）求当x∈[0，a]（a为大于0的常数）时f（x）的最小值．

提问时间：2020-08-01

答案

（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则有f（x+1）+f（x-1）=2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x
对任意实数x恒成立
∴

2a＝2 2b＝−4 2a+2c＝0

解之得a=1，b=-2，c=-1
∴f（x）=x²-2x-1
（2）当0＜a＜1时，f（x）的最小值为f（a）=a²-2a-1
当a≥1时，f（x）的最小值为f（1）=-2

（1）利用待定系数法设出f（x）=ax²+bx+c（a≠0），求出f（x+1）+f（x-1）应该是个关于a，b，x的代数式2ax²+2bx+2a+2c，与2x²-4x相同即可求解
（2）由（1）知函数的对称轴方程为x=1，对a结合函数单调性进行分类，当0＜a＜1时，函数f（x）在[0，a]上为单调减函数，故f（x）的最小值为f（a），当a≥1时，函数f（x）过函数的最低点，故最小值为f（1）

本题考点：函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查了函数的最值及其几何意义，函数解析式的求解及常用方法，还有分类讨论的思想，属于基础题．