题目

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=根号3/2且过点（2,2根号2）求该椭圆的标准方程,设不过原点O的直线L与该椭圆交予PQ两点,满足OP,PQ,OQ的斜率一次成等比数列,求三角形OPQ面积的取值范围

提问时间：2020-07-27

答案

设椭圆方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1

e=c/a=根号3/2
4/a^2+8/b^2=1
c^2=a^2-b^2
解得a^2=4,b^2=1
即椭圆方程是x^2/4+y^2=1.
2.令P(x1,y1),Q(x2,y2).直线PQ方程为:y=kx+m(其中k=(y2-y1)/(x2-x1)) ①代入x^2/4+y^2=1②并整理得:
(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0. ③
依题意有Δ=16(1+4k^2-m^2)>0. x1+x2=-(8km)/ (1+4k^2).
| x2-x1|=√Δ]/(1+4k^2), | y2-y1|=|k( x2-x1)|= |k|√Δ]/(1+4k^2), 
x1x2=4(m^2-1) /(1+4k^2),
y1y2= (kx1+m)( kx2+m)=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2
=4 k^2(m^2-1) /(1+4k^2)  -  (8k^2m^2)/ (1+4k^2) +  m^2
OP,PQ,OQ斜率成等比数列,则有(y2-y1)^2/(x2-x1)^2=y1y2/x1x2.   ④ 
即k^2=[4 k^2(m^2-1) /(1+4k^2)-(8k^2m^2)/ (1+4k^2)+m^2]/ [4(m^2-1) /(1+4k^2)]
整理得:k^2=1/4.
|PQ|=[√(1+k^2)√Δ]/(1+4k^2)= [4√(1+k^2)√(1+4k^2-m^2)]/(1+4k^2) ⑤
O到直线PQ的距离d=|m|/(√(1+k^2) ⑥
△OPQ面积=|PQ|*d/2=[4√(1+k^2)√(1+4k^2-m^2)]/(1+4k^2) *|m|/(√(1+k^2)/2 =2|m|√(1+4k^2-m^2)/(1+4k^2) =2|m|√(1+1-m^2)/(1+1) 
=|m|√(2-m^2) ⑦,又m^2不=1
显然△OPQ面积在|m|=1时取得最大值1,最小值为0,故取值范围(0,1).