题目

题型：江西省专项题难度：来源：

过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R₁=2.0m、R₂=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v₀=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s²，计算结果保留小数点后一位数字。试求：
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R₃应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。

答案

解：（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v₁，根据动能定理
 ①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律
 ②
由①②得 ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v₂，由题意
 ④
 ⑤
由④⑤得 ⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v₃，应满足
 ⑦
 ⑧
由⑥⑦⑧得
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R₃，根据动能定理
 
解得
为了保证圆轨道不重叠，R₃最大值应满足
解得R₃=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
或
当时，小球最终停留点与起始点A的距离为L′，则


当时，小球最终停留点与起始点A的距离为L〞，则