题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，一根一端封闭的玻璃管，当l=0.96m，内有一段长h₁=0.20m的水银柱。当温度为t₁=27℃，开口端竖直向上时，封闭空气柱h₂=0.60m。问温度至少升到多高时，水银柱才能从管中全部溢出？（外界大气压相当于l₀=0.76m高的水银柱产生的压强）

答案

385.2K

解析

【错解分析】错解：以封闭气体为研究对象，其初态：p₁=(l₀+h₁)，V₁=h₂S下；末态是水银刚好完全溢出时的状态：p₂=l₀，V₂=lS
根据气态方程：
解得：
带入数据得 
上述解答中有一个错误，就是存在“潜在假设”。即认为：水银柱在外溢过程中，气体体积越大，对应温度越高，当气体充满整个玻璃管（即水银全部溢出）时，所对应的温度是最高的。事实是：
根据气态方程，由此可见，PV的乘积越大，对应的温度越高。在水银末溢出前，p不变，V越大，T越大。在水银溢出的过程中，p减小，V增大，p·V的乘积并非一直增大。所以我们在解题的过程中，应找出在什么条件下，pV的乘积最大，由此确定相应的温度。
【正解】由气态方程，可知，PV乘积越大，对应的温度T越高，假设管中还有长为X的水银柱尚未溢出时，pV值最大，即（l₀+x）（l-x）S的值最大，这是一个数学求极值问题。因为（l₀+x）+（l-x）=（l₀+l）与x的大小无关，所以由数学知识可知：两数之和为一常数，则当这两数相等时，其乘积最大。
所以：l₀+x=l-x
解得：
即管内水银柱由0.20m溢出到还剩下0.10m的过程中，p·V的乘积越来越大，这一过程必须是升温的。此后，温度不必再升高（但要继续给气体加热），水银柱也将继续外溢，直至完全溢出。由气态方程：

有：
代入数据得：T₂=385.2K。