题目

题型：青浦区一模难度：来源：

如图，一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，产生一个辐射状的磁场（磁场水平向外），其大小为B=K/r，r为半径，设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R（大于圆柱形磁铁半径），而弯成铝环的铝丝其截面积为S，铝丝电阻率为ρ，密度为ρ₀．铝环通过磁场由静止开始下落，下落过程中铝环平面始终保持水平．试求：
（1）铝环下落速度为v时的电功率？
（2）铝环下落的最终速度？
（3）当下落h高度时，速度最大，此过程中圆环消耗的电能？

答案

（1）由题意知圆环所在处的磁感应强度B=

K

R

，圆环的有效切割长度为其周长，即L=2πR，
圆环的电阻R₀=ρ

L

S

=ρ

2πR

S

，当圆环的速度为v时，切割磁感线产生的电动势E=BLv=2kπv，
圆环中的电流I=

KvS

ρR

，圆环速度为v时电功率P=I²R₀
联立以上各式解得：P=

2πSk2v2

ρR

（2）当圆环加速度为零时，有最大速度v_m，此时安培力F=BIL=

2πSk2 vm

ρR

由平衡条件可知：mg=F，圆环的质量m=ρ₀S•2πR
 解得：v_m=

ρρ0gR2

k2

（3）由能量守恒定律得：
mgh=

1

2

m

v

2m

+Q 
解得：Q=2πρ₀RS[gh-

1

2

（

ρρ0gR2

k2

）²]
答：（1）铝环下落速度为v时的电功率是

2πSk2v2

ρR

（2）铝环下落的最终速度是

ρρ0gR2

k2

（3）当下落h高度时，速度最大，此过程中圆环消耗的电能是2πρ₀RS[gh-

1

2

（

ρρ0gR2

k2

）²]．