题目

题型：苏州一模难度：来源：

如图所示，虚线 l_ll₂、将无重力场的空间分成三个区域，I 区内存在水平向右的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B_l，Ⅱ区内以水平线 CO 为分界，上方存在着竖直向上的匀强电场E₂，下方存在着竖直向下的匀强电场E₃Ⅲ区内存在以l₂为左边界、右边无界的垂直纸面向里的匀强磁场B₂，在 I 区内有一段粗糙、长为 L 的水平放置塑料直管道 AC，一可视为质点的带正电小球（直径比管内径略小）的质量为 m、带电量为 q，现将小球从管道内 A 处由静止释放，运动至管道内离 A 点距离为 L₀ 的 B 点处时达到稳定速度 v₀，后进入Ⅱ区向下偏转，从边界l₂上的 D 点进入Ⅲ区，此时速度方向与水平方向的夹角为β，最后小球恰能无碰撞的从 C处进入管道．已知：

q m

=0.01C/kg，E₁=l00N/C，E₂=E₃=300N/C，β=60⁰，B_l=10³T，L=5m L ₀=4m小球与管道间动摩擦因数为μ=0.1，求：
（ l ）小球在管道内运动的稳定速度 v₀ 值；
（ 2 ）Ⅲ区内匀强磁场 B₂的值； 
（ 3 ）从 A 处开始至从 C 处进入管道的过程中，小球的运动时间t．

答案

（1）小球在管道内达到稳定速度时，合力为零，在水平方向上有：
         qE₁=μqv₀B₁
         解得：v0=

E1

μB1

=

100

0.1×103

=1m/s
（2）小球在从C到D的过程中，做类平抛运动，设加速度为a，在D点时竖直方向上的分速度为v_y，OD间的距离为d，在D点时，速度关系为：
         tanβ=

vy

v0

代入数据解得：
        vy=

3

m/s
在竖直方向上，由运动学公式有：
        

v

2y

=2ad
由牛顿运动定律有：
         qE₃=ma


以上两式联立并代入数据得：
          d=0.5m
根据题意，为保证小球能无碰撞的从C处进入管道，小球在Ⅲ区内做匀速圆周运动的圆弧是关于CO对称的，圆心O"必在CO的延长线上．（如图所示）
由几何关系得：
          R=

d

sin30°

=

0.5

0.5

=1m
          vD=

v 20 + v 2y

=2m/s
小球在Ⅲ区内做匀速圆周运动的向心力是洛伦兹力，有：
         qvDB2=m

v 2D

R

代入数据解得：
         B₂=200T
（3）小球从A点至B点的过程做变加速直线运动，设小球从A运动至B点所需要的时间为t₁，由牛顿第二定律得：
        qE1-μqvB1=m

△v

△t

由动量定理有：
∑（qE₁△t）-∑（μqvB₁△t）=∑（m△v）
        即为：qE₁t₁-μqB₁L₀=mv₀
带入数据解得：t₁=5s
小球从B匀速运动到C所需的时间为：
         t2=

L-L0

v0

=

5-4

1

=1s
小球在Ⅱ区的运动总时间为：
         t3=

2vy

a

=1.15s
小球在Ⅲ区内运动时间为：
        t4=

5

6

T=

5πm

3qB2

=2.62s
则小球从A处开始至从C处进入管道的过程中，运动时间t为：
        t=t₁+t₂+t₃+t₄=9.77s
答：（1）小球在管道内运动的稳定速度为1m/s．
    （2）Ⅲ区内匀强磁场 B₂的值为200T． 
    （3）从 A 处开始至从 C 处进入管道的过程中，小球的运动时间为9.77s．