题目

题型：不详难度：来源：

（18分）如图所示，竖直平面内边长为a的正方形ABCD是磁场的分界线，在正方形的四周及正方形区域内存在方向相反、磁感应强度的大小均为B的与竖直平面垂直的匀强磁场，M、N分别是边AD、BC的中点。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点沿MN方向射出，带电粒子的重力不计。

（1）若在正方形区域内加一与磁场方向垂直的匀强电场，恰能使以初速度v₀射出的带电粒子沿MN直线运动到N点，求所加电场的电场强度的大小和方向。
（2）为使带电粒子从M点射出后，在正方形区域内运动到达B点，则初速度v₀应满足什么条件?
（3）试求带电粒子从M点到达N点所用时间的最小值，并求出此条件下粒子第一次回到M点的时间。

答案

（1）E=Bv₀方向竖直向下  （2）v₀=5aqB/4m （3）t^’=2T=4m/qB

解析

试题分析：（1）由题意，电场力与洛伦兹力平衡，有：qE=qv₀B
解得E=Bv₀
因带电粒子带正电，知电场强度的方向竖直向下
（2）此时，带电粒子的运动轨迹如图甲所示，
根据几何关系得R²=a²+(R-a/2)²
解得R=5a/4
由牛顿第二定律得qv₀B=mv₀²/R
解得v₀=5aqB/4m
（3）由题意可画出带电粒子的运动轨迹如图乙所示，可得带电粒子在两磁场中的轨道半径均为r=a/2
带电粒子在正方形区域内的运动时间t₁=T/4
在正方形区域外的运动时间t₂=3T/4
由qvB=4 m²r/T²，可得T=2m/qB
故带电粒子从M点到达N点所用时间的最小值t=t₁+t₂=2m/qB ,
画出带电粒子从N点继续运动的轨迹如图丙所示，知带电粒子可以回到M点，由对称性，回到M点的时间为t^’=2T=4m/qB