题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度系数为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER流体，它对滑块的阻力可调。起初，滑块静止，ER流体对其阻力为0，弹簧的长度为L，现有一质量为M=2m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块瞬间碰撞后粘在一起向下运动。为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为（g为重力加速度）时速度减为0，ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变。试求（忽略空气阻力）：
（1）下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能；
（2）在滑块下移停止之前的过程中，ER流体对滑块阻力的大小f与下滑距离d所满足的函数关系式。

答案

解：（1）设M与m碰撞前的速度大小为V₁，由机械能守恒得：
MgL=MV₁²/2 ①
设碰撞后粘在一起的初速度大小为V₂，由动量守恒定律得：
MV₁=(M+m)V₂ ②
在碰撞中损失的机械能为△E=MV₁²/2-(M+m)V₂²/2 ③
又M=2m ④
由①、②、③、④解得：△E=2mgL/3 ⑤
（2）相碰前弹簧的压缩量为x₁=mg/k ⑥
共同下移到静止h=3mg/k ⑦
设加速度的大小为a，由匀变速直线运动公式有：
V₂²=2ah ⑧
设滑块下滑距离d时受到ER流体的阻力大小为f，此时弹簧的压缩量为x₂，则
x₂=x₁+d ⑨
由牛顿第二定律得：f+kx₂-(M+m)g=(M+m)a ⑩
由①、②、④、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩得：f=2mg-kd+4kL/9