题目

题型：重庆市高考真题难度：来源：

某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如图所示。用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1）。将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。（不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10 m/s²）
（1）设与n＋1号球碰撞前，n号球的速度为v_n，求n＋1号球碰撞后的速度。
（2）若N＝5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16h（16 h小于绳长），问k值为多少？

答案

解：（1）设n号球质量为m，n＋1号球质量为m_n＋1，碰撞后的速度分别为，取水平向右为正方向，据题意有n号球与n＋1号球碰撞前的速度分别为v_n、0
根据动量守恒有：m_nv_n=m_nv_n′+km_nv_n+1′
根据机械能守恒有：m_nv_n²=m_nv_n′²+km_nv_n+1′²
解得：v_n+1′=(v_n+1′=0舍去)
（2）设1号球摆至最低点时的速度为v₁，由机械能守恒定律有
v₁＝
同理可求，5号球碰后瞬间的速度v₅=
设n＋1号球与n＋2号球碰前的速度为v_n＋1
据题意有：v_n+1＝
得：v_n+1=ⁿv₁
n＝5时：v₅＝（）⁴v₁
解得：k＝