题目

题型：专项题难度：来源：

如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB 是一长为2R 的竖直细管，上半部BC 是半径为R 的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB 管内有一原长为R 、下端固定的轻质弹簧。投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R 后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。设质量为m 的鱼饵到达管口C 时，对管壁的作用力恰好为零。不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能。已知重力加速度为g 。求：
（1 ）质量为m 的鱼饵到达管口C 时的速度大小V₁；
（2） 弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_P；
（3） 已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO′在90°角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在到m之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

答案

（1 ）质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，
则由
得
（2）弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有
联立方程解得Ep=3mgR
（3）鱼饵离开管口C作平抛运动，
则有    
联立方程解得
当鱼饵质量为时，设其到达管口的速度为v₂，由机械能守恒定律有
解得
同理有    
联立方程解得
鱼饵能够落到水面的最大面积S