题目

题型：不详难度：来源：

如图所示是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，光滑斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，圆形轨道半径为R．一个质量为m的小车（可视为质点）在A点由静止释放沿斜面滑下，当它第一次经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力为其重力的7倍，小车恰能完成圆周运动并第二次经过最低点沿水平轨道向右运动．已知重力加速度为g．
（1）求A点距水平面的高度h；
（2）假设小车在竖直圆轨道左、右半圆轨道部分克服摩擦阻力做的功相等，求小车第二次经过竖直圆轨道最低点时的速度大小．

答案

（1）设第一次小车运动到B点的速度大小为v_B，受到的支持力为N，根据牛顿第二定律：
N-mg=m

vB2

R

依题意和牛顿第三定律：
N=7mg
解得v_B=

6Rg

小车从A点运动到B点的过程机械能守恒，以B点位置为重力势能零点，则有：
mgh=

1

2

mvB2
解得h=3R
（2）设小车在圆轨道最高点的速度为v_C，重力提供向心力，此时根据向心力公式有：
mg=m

vC2

R

解得：v_c=

Rg

设小车在右半圆轨道上克服阻力做功W_f，对小车从B点运动到C的点过程，根据动能定理有
-mg2R-W_f=

1

2

mvC2-

1

2

mvB2
解得W_f=

1

2

mgR
设小车第二次经过B点时的速度为v′，对小车从B点运动到C点再回到B点的过程，根据动能定理有：
-2W_f=

1

2

mv′2-

1

2

mvB2
解得v′=2

Rg

答：（1）A点距水平面的高度h为3R；
（2）小车第二次经过竖直圆轨道最低点时的速度大小为2

Rg

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