题目

题型：不详难度：来源：

图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的二个圆形轨道组成，B、C分别是二个圆形轨道的最低点，BC 间距L=12.5m，第一圆形轨道半径R₁=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以V₀=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．计算结果保留小数点后一位数字．试求



（1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L₁应是多少；
（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R₂的可变范围；
（3）小球最终停留点与起点A的距离．

答案

（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v₁=

gR1

=

14

m/s
根据动能定理得
-μmgL₁-2mgR₁=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²
解得 L₁=18.5m                      
（2）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，设在最高点的速度为v₂，应满足
      mg=m

v 22

R2

-μmg（L₁+L）-2mgR₂=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₀²
由上两式解得：R₂=0.4m
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R₂，即上升到与圆心等高的位置，
根据动能定理得
-μmg（L₁+L）-mgR₂=0-

1

2

mv₀²
解得：R₂=1.0m
为了保证圆轨道不重叠，R₂最大值应满足：(R1+R2)2=L²+(R1-R2)2，
解得 R₂=27.9m                        
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
  0＜R₂≤0.4m 或   1.0m≤R₂≤27.9m                               
（3）当0＜R₂≤0.4m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L′，则
-μmgL′=0-

1

2

mv₀²                  
解得 L′=36.0m                              
当1.0m≤R₂≤27.9m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L〞，则
   L″=L′-2（L′-L₁-L）=26.0m
答：
（1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L₁应是18.5m；
（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R₂的可变范围为 0＜R₂≤0.4m 或 1.0m≤R₂≤27.9m；
（3）小球最终停留点与起点A的距离是36m或26m．