题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在y轴右侧平面内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.5T，坐标原点o有一放射源，可以向y轴右侧平面沿各个方向放射比荷为

m

q

=2.5×10-7Kg/C的正离子，这些离子速率分别在从0到最大值υm=2×106m/s的范围内，不计离子之间的相互作用．
（1）求离子打到y轴上的范围
（2）若在某时刻沿+x方向放射各种速率的离子，求经过

5π

3

×10-7s时这些离子所在位置构成的曲线方程
（3）若从某时刻开始向y轴右侧各个方向放射各种速率的离子，求经过

5π

3

×10-7时已进入磁场的离子可能出现的区域面积．

答案

（1）离子进入磁场中做圆周运动的最大半径为R
由牛顿第二定律得：Bqυ=m

υ2

R

解得：R=

mυ

Bq

=1m
由几何关系知，离子打到y轴上的范围为0到2m．
（2）离子在磁场中运动的周期为T，
则T=

2πR

υ

=

2πm

Bq

=π×10-6s
t时刻时，这些离子轨迹所对应的圆心角为θ
则 θ=

2πt

T

=

π

3

这些离子构成的曲线如图1所示，并令某一离子在此时刻的坐标为（x，y）
则  x=rsinθ，
    y=r（1-cosθ）
代入数据并化简得：y=

3

3

x（0≤x≤

3

2

）
（3）将第（2）问中图2中的OA段从沿y轴方向顺时针方向旋转，在x轴上找一点C，以R为半径作圆弧，相交于B，则两圆弧及y轴所围成的面积即为在t=0向y轴右侧各个方向不断放射各种速度的离子在t=

5π

3

×10-7时已进入磁场的离子所在区域．
由几何关系可求得此面积为：S=

5

12

πR2+

1

6

πR2-

1

2

R×

3

2

R=

7

12

πR2-

3

4

R2．
则：S=(

7

12

π-

3

4

)m2
答：
（1）离子打到y轴上的范围为0到2m．
（2）若在某时刻沿+x方向放射各种速率的离子，经过

5π

3

×10-7s时这些离子所在位置构成的曲线方程是y=

3

3

x（0≤x≤

3

2

）．
（3）若从某时刻开始向y轴右侧各个方向放射各种速率的离子，经过

5π

3

×10-7时已进入磁场的离子可能出现的区域面积是(

7

12

π-

3

4

)m2．