题目

题型：不详难度：来源：

光滑曲面轨道末端切线水平，轨道末端点距离水平地面的高度为H=0.8m，一长度合适的木板两端分别搁在轨道末端点和水平地面之间，构成倾角为θ=37°的斜面，如图所示．一可视为质点的质量m=1kg小球，从距离轨道末端竖直高度为h=0.2m处由静止滑下．（不计空气阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求小球从轨道末端点冲出瞬间的速度v₀的大小；
（2）求小球从轨道末端点冲出后，第一次撞击木板时的位置距离木板上端点多远；
（3）若改变木板的长度，并使木板两端始终与平台和水平面相接，试通过计算推导小球第一次撞击木板时的动能随木板倾角θ的关系式，并在图中作出E_k-（tanθ）²图象．

答案

（1）小球下滑过程中机械能守恒，所以有：mgh=

1

2

mv2，得v=

2gh

=2m/s．
故小球从轨道末端点冲出瞬间的速度v₀=2m/s．
（2）当小球撞到木板上时，其位移与水平方向夹角为θ，则有：tanθ =

y

x

=

1 2 gt2

v0t

=

gt

2v0

  ①
水平方向：x=v₀t      ②
竖直方向：y=

1

2

gt2    ③
平抛位移：s=

x2+y2

   ④
联立①②③④解得：s=0.75m．
故第一次撞击木板时的位置距离木板上端点距离为0.75m．
（3）当小球撞击木板时有：tanθ =

y

x

=

1 2 gt2

v0t

=

gt

2v0

 
所以：v_y=gt=2v₀tanθ
所以：Ek=

1

2

mv2=

1

2

m(

v 20 + v 2y

)2=2+8tan2θ （0＜tanθ≤1）
故第一次撞击木板时的动能随木板倾角θ的关系式为：E_k=（8tan²θ+2）J   其中：0＜tanθ≤1
故其E_k-（tanθ）²图象如下图所示．