题目

题型：重庆难度：来源：

某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如图所示不用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3…N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1）．将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞…所有碰撞皆为无机械能损失的正碰．（不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10m/s²）
（1）设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为v_n，求n+1号球碰撞后的速度．
（2）若N=5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16k（16h小于绳长）问k值为多少？

答案

（1）本题中的两球相碰，均可看成是“一静一动弹性碰撞模型”．因为每个球的质量依次递减，碰后不会出现入射球反弹的情况．如果入射球质量为m₁，被碰球质量为m₂，碰前m₁的速度为v₁，碰后两球的速度分别为v₁′、v₂′由动量守恒定律和机械能守恒定律得：
m v₁=m₁v₁′+m₂v₂′

1

2

mV12=

1

2

mV′12+

1

2

mV′22
得：V′1=

m1-m2

m1+m2

V1     V′2=

2 m1

m1+m2

V1  
本题主要应用v₂′当n取代1时，n+1就取代2．
设n号球质量为m，与n+1号球碰撞后的速度分别为v_n′、v_n+1′取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为v_n、0、m_n+1=km_n 
根据动量守恒，有m_nV_n=m_nV′_n+km_nV′_n+1…①
根据机械能守恒，有

1

2

mnVn2=

1

2

mnV′n2+

1

2

kmnV′n+12…②
由①②得：V′n+1=

2Vn

k+1

(V′n+1=0舍去)…③
（2）设1号球摆至最低点时的速度为v₁，由机械能守恒定律有：
m1gh=

1

2

m1V12…④
v₁=

2gh

…⑤
同理可求，5号球碰后瞬间的速度
V5=

2g×16k

…⑥
由③式可得Vn+1= (

2

1+k

)nv1…⑦
N=n=5时，v₅=(

2

1+k

)5V1…⑧
由⑤⑥⑧三式得：
k=

2

-1=0.414…⑨
答：（1）n+1号球碰撞后的速度V′n+1=

2Vn

k+1

（2）k值为0.414