题目

题型：不详难度：来源：

在地面上方足够高的地方，存在一个高度d=0.5m的“相互作用区域”（下图中画有虚线的部分）．一个小圆环A套在一根均匀直杆B上，A和B的质量均为m，若它们之间发生相对滑动时，会产生f=0.5mg的摩擦力．开始时A处于B的最下端，B竖直放置，A距“相互作用区域”的高度h=0.8m．让A和B一起从静止开始下落，只要A处于“相互作用区域”就会受到竖直向上、大小F=3mg的恒力作用，而“相互作用区域”对处于其中的杆B不产生作用力．杆B在下落过程中始终保持竖直，且杆的长度能够保证圆环A与杆不会分离．不计空气阻力，取g=10m/s²．求：
（1）杆B的最下端刚进人“相互作用区域”时的速度；
（2）圆环A通过“相互作用区域”所用的时间；
（3）为保证圆环A在空中运动过程中始终与杆不会分离，杆的最小长度．

答案

（1）设A和B一体静止下落至“相互作用区域”的速度为v₁，则v12=2gh
代入数据得  v₁=4.0m/s        
（2）A在“相互作用区域”运动时，A受到重力mg、滑动摩擦力f和竖上向上的恒力F作用，设加速度a_A、运动时间为t，根据牛顿第二定律有mg+f-F=ma_A
代入数据得  a_A=-15m/s²
由位移公式有  d=v1t+

1

2

aAt2
代入数据解得  t=0.2s   t′=0.33s（不符题意，舍去）  
（3）设B在“相互作用区域”运动的加速度为a_B，A刚离开“相互作用区域”时，圆环A和直杆B的速度分别为v_A和v_B，则：mg-f=ma_B，v_B=v₀+a_Bt，v_A=v₁+a_At  
代入数据解得 v_A=1m/s，v_B=5m/s
此过程二者相对滑动的距离 s1=v1t+

1

2

aBt2-d
代入数据解得  s₁=0.4m
设A离开“相到作用区域”后二者相对滑动过程的时间为t′，A的加速度为a"_A，则
a′A=

mg+f

m

v_A+a"_At′=v_B+a_Bt′
二者相对滑动的距离 s2=vBt′+

1

2

aBt′2-(vAt′+

1

2

a′At′2)
代入数据解得  t′=0.4s，s₂=0.8m
则杆的最小长度 s=s₁+s₂=1.2m
答：（1）杆B的最下端刚进人“相互作用区域”时的速度为4.0m/s；
（2）圆环A通过“相互作用区域”所用的时间为0.2s；
（3）为保证圆环A在空中运动过程中始终与杆不会分离，杆的最小长度为1.2m．