题目
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【题文】已知函数f(x)=
(1)若x<a时,f(x)<1恒成立,求a的取值范围;
(2)若a≥-4时,函数f(x)在实数集R上有最小值,求实数a的取值范围.
(1)若x<a时,f(x)<1恒成立,求a的取值范围;
(2)若a≥-4时,函数f(x)在实数集R上有最小值,求实数a的取值范围.
答案
【答案】(1)a≤log2(2)a>时,函数f(x)有最小值
解析
【解析】(1)因为x<a时,f(x)=4x-4×2x-a,所以令t=2x,则有0<t<2a.
当x<a时f(x)<1恒成立,转化为t2-4×<1,
即>t-在t∈(0,2a)上恒成立.
令p(t)=t-,t∈(0,2a),则p′(t)=1+>0,所以p(t)=t-在(0,2a)上单调递增,
所以≥2a-,所以2a≤,解得a≤log2.
(2)当x≥a时,f(x)=x2-ax+1,即f(x)=+1-,
当≤a时,即a≥0时,f(x)min=f(a)=1;
当>a时,即-4≤a<0,f(x)min=f=1-.
当x<a时,f(x)=4x-4×2x-a,令t=2x,t∈(0,2a),则h(t)=t2-t=-,
当<2a,即a> 时,h(t)min=h=-;
当≥2a,即a≤时,h(t)在开区间t∈(0,2a)上单调递减,h(t)∈(4a-4,0),无最小值.
综合x≥a与x<a,所以当a> 时,1>-,函数f(x)min=-;
当0≤a≤时,4a-4<0<1,函数f(x)无最小值;
当-4≤a<0时,4a-4<-3≤1-,函数f(x)无最小值.
综上所述,当a>时,函数f(x)有最小值.
当x<a时f(x)<1恒成立,转化为t2-4×<1,
即>t-在t∈(0,2a)上恒成立.
令p(t)=t-,t∈(0,2a),则p′(t)=1+>0,所以p(t)=t-在(0,2a)上单调递增,
所以≥2a-,所以2a≤,解得a≤log2.
(2)当x≥a时,f(x)=x2-ax+1,即f(x)=+1-,
当≤a时,即a≥0时,f(x)min=f(a)=1;
当>a时,即-4≤a<0,f(x)min=f=1-.
当x<a时,f(x)=4x-4×2x-a,令t=2x,t∈(0,2a),则h(t)=t2-t=-,
当<2a,即a> 时,h(t)min=h=-;
当≥2a,即a≤时,h(t)在开区间t∈(0,2a)上单调递减,h(t)∈(4a-4,0),无最小值.
综合x≥a与x<a,所以当a> 时,1>-,函数f(x)min=-;
当0≤a≤时,4a-4<0<1,函数f(x)无最小值;
当-4≤a<0时,4a-4<-3≤1-,函数f(x)无最小值.
综上所述,当a>时,函数f(x)有最小值.
核心考点
试题【【题文】已知函数f(x)=(1)若x<a时,f(x)<1恒成立,求a的取值范围;(2)若a≥-4时,函数f(x)在实数集R上有最小值,求实数a的取值】;主要考察你对实数指数幂及其运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
【题文】种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的数据:
则下列函数模型中能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是( )
A. B.
C. D.
第天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
被感染的计算机数量(台) | 10 | 20 | 39 | 81 | 160 |
A. B.
C. D.
【题文】已知函数 那么 的值为 .
【题文】设a=0.5,b=0.4,c=log (log34),则( )
A.c<b<a | B.a<b<c |
C.c<a<b | D.a<c<b |
【题文】设a=22.5,b=2.50,c=()2.5,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>c>b | B.c>a>b |
C.a>b>c | D.b>a>c |
【题文】偶函数f (x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=()x在x∈[0,4]上解的个数是( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
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