题目
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【题文】已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1。
(1)证明: |c|≤1;
(2)证明:当-1 ≤x≤1时,|g(x)|≤2;
(3)设a>0,有-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x)。
(1)证明: |c|≤1;
(2)证明:当-1 ≤x≤1时,|g(x)|≤2;
(3)设a>0,有-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x)。
答案
【答案】(1) 证明略,(2)证明略(3) f(x)=2x2-1
解析
【解析】 由条件当=1≤x≤1时,|f(x)|≤1,
取x=0得 |c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1
(2)证法一: 依题设|f(0)|≤1而f(0)=c,
所以|c|≤1。 当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,
于是g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1)。
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,
因此得|g(x)|≤2 (-1≤x≤1);
当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,
于是g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),
∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1),|c|≤1
∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2。
综合以上结果,当-1≤x≤1时,都有|g(x)|≤2。
证法二:∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)
∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,
∵f(x)=ax2+bx+c,∴|a-b+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1,
因此,根据绝对值不等式性质得:
|a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2,
|a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2,
∵g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2,
函数g(x)=ax+b的图象是一条直线,
因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在区间的端点x=-1或x=1处取得,于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2,(-1<x<1。
当-1≤x≤1时,有0≤≤1,-1≤≤0,
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f |≤1,|f()|≤1;
因此当-1≤x≤1时,|g(x)|≤|f |+|f()|≤2。
(3)解: 因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2。 ①
∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1。
因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),
根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,
由此得-<0 ,即b=0。
由①得a=2,所以f(x)=2x2-1。
取x=0得 |c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1
(2)证法一: 依题设|f(0)|≤1而f(0)=c,
所以|c|≤1。 当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,
于是g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1)。
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,
因此得|g(x)|≤2 (-1≤x≤1);
当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,
于是g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),
∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1),|c|≤1
∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2。
综合以上结果,当-1≤x≤1时,都有|g(x)|≤2。
证法二:∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)
∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,
∵f(x)=ax2+bx+c,∴|a-b+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1,
因此,根据绝对值不等式性质得:
|a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2,
|a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2,
∵g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2,
函数g(x)=ax+b的图象是一条直线,
因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在区间的端点x=-1或x=1处取得,于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2,(-1<x<1。
当-1≤x≤1时,有0≤≤1,-1≤≤0,
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f |≤1,|f()|≤1;
因此当-1≤x≤1时,|g(x)|≤|f |+|f()|≤2。
(3)解: 因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2。 ①
∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1。
因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),
根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,
由此得-<0 ,即b=0。
由①得a=2,所以f(x)=2x2-1。
核心考点
试题【【题文】已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1。(1)证明: |c|≤1;(2)证明:当-1】;主要考察你对一次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
【题文】已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1。
(1)证明: |c|≤1;
(2)证明:当-1 ≤x≤1时,|g(x)|≤2;
(3)设a>0,有-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x)。
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(2)证明:当-1 ≤x≤1时,|g(x)|≤2;
(3)设a>0,有-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x)。
【题文】已知f(x)=(x
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【题文】已知是偶函数,则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是( )
A. | B.2 | C. | D.4 |
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