题目
题型:难度:来源:
【题文】已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1。
(1)证明: |c|≤1;
(2)证明:当-1 ≤x≤1时,|g(x)|≤2;
(3)设a>0,有-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x)。
(1)证明: |c|≤1;
(2)证明:当-1 ≤x≤1时,|g(x)|≤2;
(3)设a>0,有-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x)。
答案
【答案】(1) 证明略,(2)证明略(3) f(x)=2x2-1
解析
【解析】 由条件当=1≤x≤1时,|f(x)|≤1,
取x=0得 |c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1
(2)证法一: 依题设|f(0)|≤1而f(0)=c,
所以|c|≤1。 当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,
于是g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1)。
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,
因此得|g(x)|≤2 (-1≤x≤1);
当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,
于是g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),
∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1),|c|≤1
∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2。
综合以上结果,当-1≤x≤1时,都有|g(x)|≤2。
证法二:∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)
∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,
∵f(x)=ax2+bx+c,∴|a-b+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1,
因此,根据绝对值不等式性质得:
|a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2,
|a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2,
∵g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2,
函数g(x)=ax+b的图象是一条直线,
因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在区间的端点x=-1或x=1处取得,于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2,(-1<x<1。
当-1≤x≤1时,有0≤≤1,-1≤≤0,
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f |≤1,|f()|≤1;
因此当-1≤x≤1时,|g(x)|≤|f |+|f()|≤2。
(3)解: 因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2。 ①
∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1。
因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),
根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,
由此得-<0 ,即b=0。
由①得a=2,所以f(x)=2x2-1。
取x=0得 |c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1
(2)证法一: 依题设|f(0)|≤1而f(0)=c,
所以|c|≤1。 当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,
于是g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1)。
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,
因此得|g(x)|≤2 (-1≤x≤1);
当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,
于是g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),
∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1),|c|≤1
∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2。
综合以上结果,当-1≤x≤1时,都有|g(x)|≤2。
证法二:∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)
∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,
∵f(x)=ax2+bx+c,∴|a-b+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1,
因此,根据绝对值不等式性质得:
|a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2,
|a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2,
∵g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2,
函数g(x)=ax+b的图象是一条直线,
因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在区间的端点x=-1或x=1处取得,于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2,(-1<x<1。
当-1≤x≤1时,有0≤≤1,-1≤≤0,
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f |≤1,|f()|≤1;
因此当-1≤x≤1时,|g(x)|≤|f |+|f()|≤2。
(3)解: 因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2。 ①
∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1。
因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),
根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,
由此得-<0 ,即b=0。
由①得a=2,所以f(x)=2x2-1。
核心考点
试题【【题文】已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1。(1)证明: |c|≤1;(2)证明:当-1】;主要考察你对一次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
【题文】已知f(x)=(x
【题文】已知f(x)=(x
【题文】已知是偶函数,则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是( )
A. | B.2 | C. | D.4 |
【题文】已知是偶函数,则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是( )
A. | B.2 | C. | D.4 |
【题文】函数f(x)若a,b,c成等比,有最 值且该值为
最新试题
- 11956年中国电影事业蓬勃发展,其主要原因是A.“大跃进”运动的推动B.西方思想文化的影响C.“双百”方针的实施D.“两
- 2阅读理解。1. As one of the largest museums in the world, British
- 3现有一种碱金属的碳酸正盐和另一种碱金属的酸式碳酸盐组成的混合物,取0.506 g加热至质量不再变化,把放出的气体通入足量
- 4我国的省级行政区中,位置最北的是______,最西的是______.
- 5俗话说:“小时偷针,大时偷金。”其寓意是①有小偷小摸行为的人,长大后必然是大偷大摸②浪子回头金不换,洗心革面重做人③不良
- 6根据句意及汉语或首字母提示,填写单词。1. These ________(村民) here are rich now.2
- 7油菜的叶是完全叶吗,为什么?(写出完全叶的结构来)
- 8阅读下列材料:材料一:材料二:这些货币用同色纸印造,印文用屋木人物,铺户押字,各自隐秘题号,朱墨间错,以为私记。请回答:
- 9下列词语中加点的字,读音全都正确的一项是A.校订(jiào)戛然(jiá)佝偻病(gōu)自怨自艾(yì)B.降服(xi
- 10温度是反映物体冷热程度的物理量,冷热程度能反映的是:A.物体内分子热运动的剧烈程度,B.物体势能的大小C.物体运动时动能
热门考点
- 1综合性学习(7分)洋浦千年古盐田是洋浦开发区乃至全国唯一一个具有观赏及考古价值的旅游景点。千年古盐田是我国最早的一个日晒
- 2下列加热方式错误的是
- 320世纪,世界经历了两次世界大战和一个长达半个世纪的“冷战”,导致了世界格局(体系)的三次大变动。根据所学知识回答问题:
- 4.When people move to another country, they often try _______
- 51895年,德皇威廉二世宣布:“德意志帝国变成为世界帝国……,德国的货物,德国的知识,德国的勤奋要飘洋过海。”这番话反映
- 6在数轴上表示下列各数,再用“<”连接起来-3,3,-2.5,-(-1.6),0,-|-2|
- 7向滴有酚酞的NaOH溶液中,逐渐滴入稀盐酸至过量,下面叙述正确的是 [ ]A.溶液由红色变为无色,PH逐渐增大B
- 8下列命题:(1)在△ABC中,若∠A=∠C-∠B,则△ABC为直角三角形.(2)若直角三角形有两条边的长分别为3和4,则
- 9从2001年2月21日零时起,中国电信执行新的固定电话费标准,其中本地网营业区内 通话费是:前3分钟是0.2元(不足3分
- 10—I have learned that a large new building will be set up____