题目

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【题文】已知函数满足，，且当时，.
（1）证明：函数是周期函数；（2）若，求的值.

答案

【答案】(1)证明略；（2）.

解析

【解析】
试题分析：（1）对应函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么为这个函数的周期；（2）函数在定义域上满足，则的周期为的周期函数；（3）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序，需注意下列问题：一是对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂来表示，二是应用平方差、完全平方公式及简化运算.
试题解析：（1）∵，∴，又∵，
∴，函数是以4为周期的周期函数；      6分
（2）由（1）可知，∴
∴，从而，∴，又，
∴，∴．     12分
考点：函数的周期性；（2）指数幂的运算.