题目

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【题文】（本小题满分12分） 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求正实数的取值范围.

答案

【答案】（1）f （x）在定义域上是奇函数；（2） m的取值范围是．

解析

【解析】
试题分析：（1）判断奇偶性，首先求定义域，看定义域是否关于原点对称.然后再看是满足还是.若满足，则是奇函数；若满足，则为偶函数.（2）对不等式，应根据函数的单调性转化为普通不等式.所以首先利用导数判断的单调性.由于，当或时，恒成立，所以在上是减函数，因为x∈[2,4]且m>0，所以，由得，即m<（x＋1）（x－1）（7－x）在恒成立．设g（x）＝（x＋1）（x－1）（7－x），，这样即可.
试题解析：（1）由，得且，
∴函数的定义域为， 1分
当时，， 2分
， 3分
所以， 4分
∴f （x）在定义域上是奇函数； 5分
（2）由于，
当或时，恒成立，
所以在上是减函数， 6分
因为x∈[2,4]且m>0，所以， 7分
由及在上是减函数，
所以， 8分
因为x∈[2,4]，所以m<（x＋1）（x－1）（7－x）在恒成立． 9分
设g（x）＝（x＋1）（x－1）（7－x），，则g（x）＝－x³＋7x²＋x－7， 10分
所以g′（x）＝－3x²＋14x＋1＝－3²＋，
所以当时，g′（x）>0 ．
所以y＝g（x）在上是增函数，g（x）_min＝g（2）＝15 ． 11分
综上知符合条件的m的取值范围是． 12分
考点：1、函数的奇偶性；2、导数的应用.