题目

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【题文】已知函数f(x)＝lnx－ax²＋(2－a)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；
(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：＜0.

答案

【答案】（1）在上单调递增，在上是减函数（2）见解析（3）见解析

解析

【解析】(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞),
f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.
①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上是减函数.
(2)解：设函数g(x)＝f－f，
则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝－2a＝.
当0<x<时，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0.
故当0<x<时，f>f.
(3)证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y＝f(x)的图象与x轴至多有一个交点，
故a>0，从而f(x)的最大值为f，且f>0.
不妨设A(x₁，0)，B(x₂，0)，0<x₁<x₂，则0<x₁<<x₂.
由(2)得f＝f>f(x₁)＝0.
从而x₂>－x₁，于是x₀＝>.由(1)知，f′(x₀)<0