题目

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【题文】已知为定义在 上的奇函数，当时，函数解析式为.
（Ⅰ）求在上的解析式；
（Ⅱ）求在上的最值．

答案

【答案】（Ⅰ）在上的解析式为f（x）＝2^x－4^x；
（Ⅱ）函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2.

解析

【解析】
试题分析：（Ⅰ）设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．由f（－x）＝－f（x）即可得在上的解析式.（Ⅱ）当x∈[0,1]，f（x）＝2^x－4^x＝2^x－（2^x）²，设t＝2^x（t>0），则f（t）＝t－t².这样转化为求二次函数在给定区间上的最大值，最大值.
试题解析：解：（Ⅰ）设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．
∴f（－x）＝－＝4^x－2^x.
又∵f（－x）＝－f（x）
∴－f（x）＝4^x－2^x.
∴f（x）＝2^x－4^x. 
所以，在 [上的解析式为f（x）＝2^x－4^x
（Ⅱ）当x∈[0,1]，f（x）＝2^x－4^x＝2^x－（2^x）²，
∴设t＝2^x（t>0），则f（t）＝t－t².
∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．
当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.
当t=0时，取最小值为-2.
所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2.
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式；3、函数的最值.