题目

题型：难度：来源：

【题文】已知函数,当时,恒有.
（1）求证：；
（2）若，试用表示；
（3）如果时，且，试求在区间上的最大值和最小值.

答案

【答案】（1）见解析；（2）-8a；（3）最大值1，最小值-3.

解析

【解析】
试题分析：（1）令x=y=0，利用已知可得f（0）=0．再令y=-x，则f（-x）=-f（x）．（2）利用奇函数的性质由f（-3）=a=-f（3），可得f（3）=-a，进而得到f（6）=2f（3），f（12）=2f（6），f（24）=2f（12）．（3）先利用定义证明f（x）在R上单调递减．设则．利用已知可得．进而得到,然后通过所给函数值，求得最小值f（6）,最大值f（-2）即可.
试题解析：（1）令得,                            
再令得                            
                                    
（2） 由
                 
（3）设，且,
则=
,
,
在R上是减函数,
,
.
考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；函数的值．