题目

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【题文】（本题满分14分）已知函数的值满足，对任意实数x、y都有
，且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0<x<1时，.
（1）求的值，判断的奇偶性并证明；
（2）判断在（0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若且，求a的取值范围。

答案

【答案】（1），为偶函数；
（2）f（x）在（0，＋∞）上是增函数，证明详见解析；
（3）

解析

【解析】
试题分析：（1）通过对条件的观察，发现可对、适当赋值便可求出及判断的奇偶性；（2）设，∵，,从而，进而求出函数的单调性；（3）由题意得，结合，得到，从而得到答案.
试题解析：解：（1）令，可得              2分
令y＝－1，则，∵，∴，故为偶函数.    5分
（2）f（x）在（0，＋∞）上是增函数。                 6分
证明：设，∴，由题设知，且，
∵
又∵
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，＋∞）上是增函数.                       9分
（3）∵f（27）＝9，而
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，即，
∴               14分
考点：函数奇偶性和单调性的综合应用.