题目

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【题文】（本小题满分14分）已知，函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：对于任意的，都有.

答案

【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为,单调递减区间为,；
（Ⅱ）略。

解析

【解析】
试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为,，
因为，所以，当，或时，；
当时，．
所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,.
（Ⅱ）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，
所以，当时，．
由，可得．
所以当时，函数在区间上是增函数，
所以，当时，．
所以，当时，
对于任意的，都有，，所以．
当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以，当时，．
所以，当时，
对于任意的，都有，，所以．
综上，对于任意的，都有．
考点：导数与函数、函数的单调性、极值、最值、等价转化。