题目

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【题文】已知为定义在 上的奇函数，当时，函数解析式为．
（Ⅰ）求在上的解析式；
（Ⅱ）求在上的最值

答案

【答案】（Ⅰ） 
（Ⅱ）函数在[0,1]上的最大与最小值分别为．

解析

【解析】
试题分析：（Ⅰ）考查具有奇偶性的函数在某个区间上的解析式，求其在关于原点对称的区间上的解析式的问题，抓住关键点，与的关系即可；（Ⅱ）考查关于函数在某个区间上的最值问题的求解问题，注意式子的转化和整体思维的应用．
试题解析：（Ⅰ）设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．
∴（－x）＝－＝4^x－2^x．
又∵（－x）＝－（x）
∴－（x）＝4^x－2^x．
∴（x） 
所以，在 上的解析式为（x）．
（Ⅱ）当∈[0,1]，＝2^x－4^x＝2^x－（2^x）²，
∴设t＝2^x（t>0），则f（t）＝t－t²．
∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．
当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0．
当t=0时，取最小值为-2．
所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2．
考点：1．具备奇偶性的函数的解析式的求解问题；2．有关指数函数和二次函数的复合函数在某个区间上的最值求解问题；3．整体思维的运用和换元的思想方法．