题目

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【题文】已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

答案

【答案】D

解析

【解析】（Ⅱ）∵f（x）=x²+2x+alnx，
∴f(2t-1)≥2f(t)-3?2t²-4t+2≥2alnt-aln(2t-1)=aln[t² /(2t-1 ))．
当t≥1时，t²≥2t-1，∴ln[t² /2t-1 ]≥0．即t＞1时，a≤2(t-1)² /(ln(t² /2t-1)) 恒成立．又易证ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴(ln(t² /2t-1))  =ln[1+[(t-1)²/ 2t-1] ]≤(t-1)² /(2t-1) ＜(t-1)²在t＞1上恒成立．当t=1时取等号，∴当t≥1时，ln(t² /2t-1) ≤(t-1)²，∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（-∞，2]．