题目

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【题文】已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是          

答案

【答案】5

解析

【解析】
考点：函数恒成立问题。
分析：由条件对定义域内任意x₁，x₂，满足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，问题可以转化为f（x）_max-f（x）_min＜1，因此求函数的最值是关键．求最值时，利用换元法求解。
解答：
由题意，= cosα，=sinα(α∈[0，π/2]，
f(x)= cosα+sinα=sin(α +π/4)，
从而有f(x)_max= ，f(x)_min=，
∴-＜1解得a＜3+2，
∵a∈N^*，
∴a=1，2，3，4，5，
∴正整数的取值个数是5个。
点评：解答时等价转化是解题的关键，求解函数的最值运用三角换元法，应注意参数角的范围。