题目

题型：上海高考真题难度：来源：

已知椭圆Γ的方程为（a>b>0），A（0，b） 、B（0，-b）和 Q（a，0）为Γ的三个顶点。
（Ⅰ）若点M满足，求点M的坐标；
（Ⅱ）设直线l₁：y=k₁x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于点E。若k₁·k₂=-，证明：E为CD的中点；
（Ⅲ）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P₁、P₂满足？令a=10，b=5，点P的坐标是（-8，-1）。若椭圆Γ上的点P₁、P₂满足，求点P₁、P₂的坐标。

答案

解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x₀，y₀），由题意可知

∴点M的坐标为；
（Ⅱ）证明：由
得（b²+a²k₁²）x²+2a²k₁px+a²p²-a²b²=0
∴CD的中点坐标为


由
得l₁与l₂的交点E的坐标为
∴l₁与l₂的交点E为CD的中点；
（Ⅲ）设OF的斜率为k₁，过F作斜率为的直线交椭圆P₁、P₂两点
由（Ⅱ）可知，F是P₁P₂的中点，四边形PP₁QP₂是平行四边形
所以
直线P₁P₂即为所求；
由a=10，b=5及点P（-8，-1）得PQ中点为
OS的斜率
过点S且斜率的直线l的方程是y=
记l与T的交点为P₁、P₂，则
由
解得P₁（8，3），P₂（-6，-4）。