题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n(n∈N^*).
(1)计算a₁,a₂,a₃,a₄,并由此猜想通项公式a_n;
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

答案

（1）a₁=1，a₂= a₃= a₄= a_n=(n∈N^*)（2）证明略

解析

（1）解 当n=1时，a₁=S₁=2-a₁,∴a₁=1.
当n=2时，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂,∴a₂=.
当n=3时，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃,∴a₃=.
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=S₄=2×4-a₄,∴a₄=.
由此猜想a_n=(n∈N^*).
（2）证明 ①当n=1时，a₁=1，结论成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N^*)时,结论成立，即a_k=,
那么n=k+1时，
a_k+1=S_k+1-S_k=2(k+1)-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1.
∴2a_k+1=2+a_k,
∴a_k+1===,
这表明n=k+1时，结论成立，
由①②知猜想a_n=（n∈N^*）成立.