题目
题型:不详难度:来源:
答案
解析
12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)
对于一切n∈N*都成立.
当n=1时,a(b+c)=1;
当n=2时,2a(4b+c)=6;
当n=3时,3a(9b+c)=19.
解方程组 解得
证明如下:
①当n=1时,由以上知存在常数a,b,c使等式成立.
②假设n=k(k∈N*)时等式成立,
即12+22+32+…+k2+(k-1)2+…+22+12
=k(2k2+1);
当n=k+1时,
12+22+32+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12
=k(2k2+1)+(k+1)2+k2
=k(2k2+3k+1)+(k+1)2
=k(2k+1)(k+1)+(k+1)2
=(k+1)(2k2+4k+3)
=(k+1)[2(k+1)2+1].
即n=k+1时,等式成立.
因此存在a=,b=2,c=1,使等式对一切n∈N*都成立.
核心考点
试题【是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)对于一切n∈N*都成立,若存在,求出a、b、c并证明;若】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.增加一项 | B.增加和两项 |
C.增加和两项,同时减少一项 | |
D.增加一项,同时减少一项 |
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