题目

题型：不详难度：来源：

设关于正整数的函数
（1）求；
（2）是否存在常数使得对一切自然数都成立？并证明你的结论

答案

（1），，
（2）根据数学归纳法思想，先利用特殊值来得到参数的a,b,c的值，然后对于解题的结果运用数学归纳法加以证明。

解析

试题分析：解：（1），，                    3分
（2）假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得
             6分
于是，对n=1,2,3下面等式成立：
      8分
记
假设n=k时上式成立，即       10分
那么


也就是说，等式对n=k+1也成立                          3分
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立    14分
点评：主要是考查了运用数学归纳法证明与自然数相关的命题，以及归纳猜想思想的运用。属于中档题。