题目

题型：不详难度：来源：

数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如：当时，，，；当时，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）猜想，并用数学归纳法证明．

答案

（Ⅰ）63； （Ⅱ）.

解析

试题分析：（Ⅰ）通过列举进行计算；（Ⅱ）先从特殊入手，
当时，，，；
当时，，，，所以；
从特殊到一般探求与之间的递推关系，从而便于用数学归纳法证明.
试题解析：（Ⅰ）当时，，，，所以；
（Ⅱ）由，，
猜想，下面证明：
（1）易知时成立；
（2）假设时，
则时，

（其中，为时可能的个数的乘积的和为），


即时也成立，
综合（1）（2）知对，成立．
所以．